Definición 

Son aquellos

productos

que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado   a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) Diferencia de Cuadrados   ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2   Binomio Suma al Cubo   ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)   Binomio Diferencia al Cubo   ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3   Suma de dos Cubos       Binomio Diferencia al Cuadrado   ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2   ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de Cubos   Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio   Trinomio Suma al Cubo   Identidades de Legendre   Producto de dos binomios que tienen un término común   a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)   ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)   ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)   ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab   ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

 Ejemplos :

 

• Efectuar : ( x² – 2x + 1) ( x² + x + 1)² + ( x³ + 1)²

   

  Solución :

• Simplificar :

   

• Simplificar :

   

• Hallar el valor de P :

   



Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

x² – 2x + 1 = ( x – 1)²

Luego : ( x – 1)² (x² + x + 1)² + (x³ + 1)²



Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

(x³ – 1)² + (x² + 1)²

(x³)² - 2x³ (1) + 1 + (x³)² + 2x³ (1) + 1

(x³)² + (x³)² + 2 = 2 (x³)² + 2

= 2x⁶ + 2 = 2 (x⁶ + 1)

 

M = ( a + b ) ( a² + b² ) ( a³ – b³ ) (a² – ab + b²) (a⁴ – a² b² + b⁴) + b¹²

Solución

Ordenando los productos notables tenemos :

( a + b ) ( a² + b² ) ( a³ – b³ ) (a² – ab + b²) (a⁴ – a² b² + b⁴) + b¹²

* **

Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

( a + b ) (a² – ab + b²) = a³ + b³

Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

( a² + b² ) (a⁴ – a² b² + b⁴) = a⁶ + b⁶

Remplazando en la expresión inicial tenemos :

( a³ + b³ ) ( a⁶ + b⁶ ) ( a³ – b³ ) + b¹²

Ordenando los factores tenemos :

( a³ + b³ ) ( a⁶ + b⁶ ) ( a³ – b³ ) + b¹²

¨

aplicando productos notables en "¨ " :

( a⁶ + b⁶ ) ( a⁶ + b⁶ ) = a¹² – b¹² + b¹² = a ¹² Rpta.

 



Solución

Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :



Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :











K = a² - b² Rpta.

 

Solución :

à P = à à P = 9^1/2 à

 

• P = 3 Rpta.

   

 

1. Hallar el valor de E :

    

Solución :